Question

彻底跪了，求教同济6版高数课后习题5-3的(25)定积分计算题

题目是求以0为下限，pi为上限的sqrt(1+cos2x)dx的定积分。

我自己计算是得=sqrt(cosx^2+sinx^2+cosx^2-sinx^2)=sqrt(2cosx^2)=sqrt(2)cosx 但是解析书上写的是sqrt(2)sinx 难道解答书印错了？还是我计算有问题？ （最终结果是二倍根号二，解析书正确）

Answer 1

∫(0→π) √(1 + cos2x) dx
= ∫(0→π) √(1 + 2cos²x - 1) dx
= √2∫(0→π) |cosx| dx
其实在初中也学过y = cosx的图像吧？
y = cosx，0 ≤ x ≤ 2π
在0 ≤ x ≤ π/2，y = cosx > 0
在π/2 ≤ x ≤ π，y = cosx < 0
在π ≤ x ≤ 3π/2，y = cosx < 0
在3π/2 ≤ x ≤ 2π、y = cosx > 0
y = |cosx|要求无论cosx等于多少，最后的y值一定要是正数。
所以原题 = √2∫(0→π/2) |cosx| dx + √2∫(π/2→π) |cosx| dx
= √2∫(0→π/2) cosx dx + √2∫(π/2→π) (- cosx) dx、由于π/2 ≤ x ≤ π时cosx < 0，令y > 0，所以加上负号使其变为正数，即|cosx| = - cosx = 正数
= √2[sinx] |(0→π/2) - √2[sinx] |(π/2→π)
= √2[1 - 0] - √2[0 - 1]
= 2√2

一个是√(cos²x) = cosx、一个是√(cos²x) = - cosx。别混淆了