Question

函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．

（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

Answer 1

（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点
当a≠0时，△=1-4a=0，a=1/ 4 ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1或y=1/4x^2+x+1；
（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C；
∵y=ax2+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=1/4x^2+x+1，
∴顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B
∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PC/OB=BC/AO ，故PC=2BC，
设P点的坐标为（x，y），
∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是钝角，
∴x＜-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，
即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x）
∵点P在二次函数y=1/4x^2+x+1的图象上，
∴-4-2x=1/4x^2+x+1
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x＜-2，
∴x=-10，
∴P点的坐标为:（-10，16）
（3）点M不在抛物线y=ax2+x+1上
由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位线．
∴QE∥MD，QE=1/2MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=1/2
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，
故BE=8/5,QE=16/5
∴Q点的坐标为（-18/5,16/5 ）
可求得M点的坐标为（14/5,32/5 ）
∵1/4(14/5)^2+14/5+1=144/25≠32/5
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上．