Question

已知定义域为R的函数f(x)=-2^x+b/2^x+1+a是奇函数，（1）求实数a,b的值，（2）判断f(x)在定义域内的单调性

（3）(2)若对任意的t属于R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求K的取值范围

Answer 1

f(-x)=-f(x)
-2^(-x)+b/2^(-x)+1+a=2^x-b/2^x-1-a
(b-1)/2^x+(b-1)*2^x+2(1+a)=0
b=1,a=-1

f(x)=-2^x+2^(-x)
因为2^x单调递增，所以-2^x和2^(-x)都单调递减
所以f(x)单调递减

f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0
f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2)
t^2-2t>k-2t^2
3t^2-2t-k>0
即方程无解
所以判别式=(-2)^2-4*3*(-k)<0
1+3k<0
k<-1/3

Answer 2

题目搞错了
对于第一问，如果f(x)=-2^x+b/2^(x+1)+a，则f(x)=-2^x+(b/2)/2^x+a，分别用(a-1, b/2)代替上面的(a, b)，其余不变。解得a=0, b=2。