Question

数学题求助，请写清思路及过程，在线等，急，谢谢！

圆P交y轴A（0，9），B（0，1），与x轴相切于C。
（1）作直径EF//x轴交圆P于E、F，交y轴于点D，B'与B关于x轴对称，连结B'F交圆P于H.
1.求FH的长
2.若点Q是线段EF上一动点，求QB+QH的取值范围。

答案为：所以|QA|+|QH|的取值范围是[4√5,4√5+8]。我只算出了最长距离，请各位老师帮忙讲一下最短距离4√5怎么来的。明天就要考试了，在线等，急，谢谢！

Answer 1

1)因为P在A、B的对称轴上，所以P的纵坐标是5。又圆P与x轴相切，所以圆半径r=5
P的横坐标为√(5^2-4^2)=3，即P(3,5)。所以F(8,5)
连接AF、BH，易知△B'BH∽△B'FA，有B'H/B'B=B'A/B'F，即(B'F-FH)/B'B=B'A/B'F
得(10-FH)/2=10/10，故FH=8
(2)因为A、B关于EF对称，所以|QB|+|QH|=|QA|+|QH|
易知|AH|≤|QA|+|QH|≤|FA|+|FH|，前者当且仅当A、Q、H三点共线时取“=”
过H作HG⊥EF交EF于G，△HGF∽△B'DF，都是勾三股四弦五的三角形，所以
HG=FH/10*6=8/10*6=4.8，GF=FH/10*8=8/10*8=6.4。得DG=DF-GF=8-6.4=1.6
所以H的坐标为(1.6,0.2)，|AH|=√[1.6^2+(9-0.2)^2]=4√5
而|FA|+|FH|=√(8^2+4^2)+8=4√5+8
所以|QA|+|QH|的取值范围是[4√5,4√5+8]。
1
已知A，B可以求出圆P的解析式
可以得到F点的坐标
根据F与B‘的坐标可以求出直线FB’的解析式
联立
可以求出H点坐标
根据H与F的坐标
可以求出长度
2
做H关于直线EF的对称点H‘
最小值为B’H‘的长度
最大值为FB'+FH'的长度

追问

最小值为B’H‘的长怎么求出来的？请老师给讲一下，谢谢

Answer 2

最短距离是AH的长，∵A，B对称此时三点共线，最短

追问

从图上看A B H 不在一条线上，为什麽共线，请老师给讲一下，谢谢

追答

是A,Q,H共线，A,B对称，是一个转化思路