Question

已知∠MON=60°，OT是角MON的角平分线，P是射线上的一个动点，射线PB叫射线on于点B

1)如图甲，诺射线PB绕点P顺时针旋转120°后于射线OM交予点A，求证：PA=PB
2）若OB=2，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交与点A（点A不与点o重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD=∠ABO，求OP的长。

Answer 1

1.过分别作OM ON的垂直线交OM ON与E F
所以角EPF=120度 PE=PF
因为角EPF=角EPA+角APF=120
且角APB=120（PB绕点P顺时针旋转120°的角）
角APB=角APF+角FPB=120

所以角EPA=角FPB
所以三角形PEA全等与三角形PFB
所以PA=PB
2.∠PBD=∠ABO
∠APB=120 所以∠BPD=60=角AOB
所以三角形OBA相似于三角形PBD
由1知PA=PB OP=OP ∠AOP=∠BOP 所以三角形AOP全等于三角形BOP
所以角OAP=角OBP
又因为PA=PB得角BAP=角PBA=30
所以角OAB=角ABO
由AOB=60
所以角OAB=角ABO=60
所以PBD=60
所以角PBO=90
所以OP=4根号3/3