Question

线性代数，矩阵的相似与合同

老师给了下面两个命题，
1，两个方阵相似且合同，则有两个矩阵特征值相同且都是实对称阵，
2，两个方阵合同不相似，则有特征值不想同且正惯性指数和负惯性指数还有零的个数相同，
请问为什么对，急啊，后天考试

Answer 1

1. A,B相似,则特征值相同 --这是定理,相似矩阵的特征多项式相同
A,B合同: 概念来源自二次型, 一般是实对称矩阵

2. A,B合同, 则正负惯性指数相同,秩相同 --定理
A,B不相似,由于A,B为实对称矩阵, 都可对角化, 所以特征值不同
--否则A,B相似于同一个对角矩阵.

追问

我们教材上给的合同定义没要求是实对称阵啊，
还有A,B合同，则惯性指数相同，秩相同，为什么啊，我们版本的教材没有给这个定理啊，能不能给一下证明，或者从教材照照片发过来也行

追答

相似且合同, 推出都是实对称矩阵, 这我做不到
A,B合同, 则 A=C^TBC, C可逆, 所以 r(A)=r(B)
A,B合同, 则它们的规范型相同, 这是因为求规范型即为合同变换
规范型相同则正负惯性指数相同,进而零的个数相同

Answer 2

1、1）因为两个方阵相似，所以知道特征值相同，这是相似的完备不变量
2）合同的前提是二次型，二次型的前提是实对称，这仅仅是定义
2、1）由于不相似，所以特征值不相同，这是上面的逆否命题
2）由于合同，知道正、负惯性指数相同（合同的完备不变量），而二者合同故等秩，又正惯性指数+负惯性指数=秩，所以0的个数相同

追问

什么叫完备不变量，我们那个版本教材没提过这个词

Answer 3

楼上答得挺好：
1、1）因为两个方阵相似，所以知道特征值相同，这是相似的完备不变量
2）合同的前提是二次型，二次型的前提是实对称，这仅仅是定义
2、1）由于不相似，所以特征值不相同，这是上面的逆否命题
2）由于合同，知道正、负惯性指数相同（合同的完备不变量），而二者合同故等秩，又正惯性指数+负惯性指数=秩，所以0的个数相同
我再补充第一问：
设A=X^(-1)BX则|xE-A|=|X^-1|*|xE-B|*|X|=|xE-B|

追问

看楼上追问，

追答

我看了下定义，A与B合同，貌似没有要求A与B是对陈阵，对于不是对称阵的A，B合同，但我们仍有上述结论：
A=(A'+A)/2+(A-A')/2=A1+A2，A1是对陈阵，A2是反对称阵，于是，X'AX=X'A1X+X'A2X=X'A1X,同理，有X'BX=X'B1X，其中A1，B1对称，易由A,B合同知A‘与B’合同，从而A1与B1合同，A1与B1有上述结论，A1与A对二次型是等同的，B1与B也是等同的
所以上述结论成立

追问

“从而A1与B1合同”后面都没懂啊，

追答

貌似错了，A与B合同，A'与B'合同，过度矩阵不是同一个，是互为转置。我们还是应把两个合同的矩阵（二次型）默认为对称的才行

追问

谢谢你的解答，我都已经采纳别人的了，你还这么耐心帮我答 谢谢啊