Question

求解一道九年级数学难题，关于三角形、圆的知识综合题，求详细的解答过程？感谢

如下图所示，圆O的直径AB,小圆P过点O,且与圆O内切于点B,C为圆O上的点，OC与小圆P交于点D，且OD>CD.点E在OD上，且DC=DE，BE的延长线与小圆P交于点F，求证：ΔBOC相似于ΔDPF。请写出具体的证明过程。

Answer 1

用好DE=DC。

连接BD，∵OB是⊙P的直径，∴BD⊥CE，
∵DE=DC，∴BC=BE，∴∠BEC=∠C，∠DBF=1/2∠EBC，
∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，
∴ΔOBC∽ΔBCE，∴∠EBC=∠BOC，
∵∠DBF=1/2∠DPF(同弧DF所对的圆周角是圆心角的一半)，
∴∠DPF=∠EBC=∠BOC，
∵PD=PF，
∴PD/OB=PF/OC，
∴ΔDPF∽ΔBOC。

Answer 2

很简单的，你看角FPD=2角FOD（圆弧所对的角圆心的等于周边所对应的2倍），连接DB，可知角ODB=90（直径对应的角度等于90度），由于DE=DC，故角DEB=角DCB（因为两个三角形是完全相似的三角形），又由于角OFB=90，故角FOE=90-角FEO=90-角DEB=90-角C，可知角FPD=2*（90-角C）=180-2*角C，由于角COB等于180-2*角C，且两个都是等腰三角形，故ΔBOC相似于ΔDPF