Question

求解一道九年级数学综合题，关于三角形、圆的位置等综合知识？

如下图所示，圆O的直径AB,小圆P过点O,且与圆O内切于点B,C为圆O上的点，OC与小圆P交于点D，且OD>CD.点E在OD上，且DC=DE，BE的延长线与小圆P交于点F，求证：ΔBOC相似于ΔDPF。请写出具体的证明过程。

Answer 1

 

证明：作公切线BG,连BG,AC,

因为BG是公切线

所以∠CBG=∠A,∠DBG=∠DOB

因为OA=OC

所以∠DOB=2∠A,

所以∠DOB=2∠CBG

因为∠DOB=∠DBG

所以∠DBG=∠CBG

即∠DBC=∠CBG

因为OB是直径

所以BD⊥OC

因为CD=DE

所以∠EBD=∠DBC

所以∠EBD=∠DBC=∠CBG

所以2∠EBD=∠DBC+∠CBG

即2∠EBD=∠DBG

因为在圆P中，圆心角∠FPD=2∠EBD

所以∠FPD=∠DBG

因为∠DBG=∠COB

所以∠FDB=∠COB

又OC=OB,PD=PF

所以△BOC∽ΔDPF（顶角相等的等腰三角形相似）

Answer 2

作切线BG,连BG,AC,
因为BG是切线
所以∠CBG=∠A,∠DBG=∠DOB
因为OA=OC
所以∠DOB=2∠A,
∠DOB=2∠CBG
因为∠DOB=∠DBG
所以∠DBG=∠CBG
∠DBC=∠CBG
因为OB是直径
所以BD⊥OC
因为CD=DE
所以∠EBD=∠DBC
∠EBD=∠DBC=∠CBG
2∠EBD=∠DBC+∠CBG
2∠EBD=∠DBG
因为在圆P中，圆心角∠FPD=2∠EBD
所以∠FPD=∠DBG
因为∠DBG=∠COB
所以∠FDB=∠COB
又OC=OB,PD=PF
所以△BOC∽ΔDPF（顶角相等的等腰三角形相似）