求解一道九年级数学综合题,关于三角形、圆的位置等综合知识?
如下图所示,圆O的直径AB,小圆P过点O,且与圆O内切于点B,C为圆O上的点,OC与小圆P交于点D,且OD>CD.点E在OD上,且DC=DE,BE的延长线与小圆P交于点F...
如下图所示,圆O的直径AB,小圆P过点O,且与圆O内切于点B,C为圆O上的点,OC与小圆P交于点D,且OD>CD.点E在OD上,且DC=DE,BE的延长线与小圆P交于点F,求证:ΔBOC相似于ΔDPF。请写出具体的证明过程。
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作切线BG,连BG,AC,
因为BG是切线
所以∠CBG=∠A,∠DBG=∠DOB
因为OA=OC
所以∠DOB=2∠A,
∠DOB=2∠CBG
因为∠DOB=∠DBG
所以∠DBG=∠CBG
∠DBC=∠CBG
因为OB是直径
所以BD⊥OC
因为CD=DE
所以∠EBD=∠DBC
∠EBD=∠DBC=∠CBG
2∠EBD=∠DBC+∠CBG
2∠EBD=∠DBG
因为在圆P中,圆心角∠FPD=2∠EBD
所以∠FPD=∠DBG
因为∠DBG=∠COB
所以∠FDB=∠COB
又OC=OB,PD=PF
所以△BOC∽ΔDPF(顶角相等的等腰三角形相似)
因为BG是切线
所以∠CBG=∠A,∠DBG=∠DOB
因为OA=OC
所以∠DOB=2∠A,
∠DOB=2∠CBG
因为∠DOB=∠DBG
所以∠DBG=∠CBG
∠DBC=∠CBG
因为OB是直径
所以BD⊥OC
因为CD=DE
所以∠EBD=∠DBC
∠EBD=∠DBC=∠CBG
2∠EBD=∠DBC+∠CBG
2∠EBD=∠DBG
因为在圆P中,圆心角∠FPD=2∠EBD
所以∠FPD=∠DBG
因为∠DBG=∠COB
所以∠FDB=∠COB
又OC=OB,PD=PF
所以△BOC∽ΔDPF(顶角相等的等腰三角形相似)
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