Question

如图在rt△abc中,角bac=90度,ab=ac=4cm,实验操作把一等腰直角三角尺45度顶点（记为点d）放在bc边上滑动，

猜想∠bda与∠ced的大小有何关系。
ac边上为点e。

Answer 1

郭敦顒回答：

未见图，不知等腰直角三角尺的两腰怎样放置，∠ced中的e不知在何处。

郭敦顒继续回答：

这题仍未说得完全清楚，还应补充两点：E是等腰直角三角尺FDG直角分角线DH与AC的交点，Rt△ABC的点A始终在等腰直角三角尺的一腰（边）DF上。以此作答——那么，∠BDA=∠CED证明：作AK⊥BC于K，∴∠KAB=∠HDG=∠B=∠=∠G=45°，∠CDA=∠B+∠BAD=90°－∠DAK=90°－∠CDG∴∠CDG=∠DAK，∠CDE=∠BAD，∴在△ABD和△DCE中，∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，∴∠BDA=∠CED。                     F  

 

                  A                             H                        E                               B            K        C             D                                                G

 

Answer 2

解：（1）猜想∠BDA=∠CED．
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2，
∴∠1=∠2，
∵∠BDA=180°-∠1-∠B，∠CED=180°-∠2-∠C，
∴∠CED=∠BDA；

（2）由（1）知：∠BDA=∠CED，∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴
BD
CE
=
AB
DC
，
即
x
4-y
=
4

4
2
-x

，
∴y=
1
4
x2-
2
x+4（0＜x＜4
2
）．

（3）假设能，分三种情况讨论：
①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°，
此时点D与B重合，这与已知矛盾，所以这种情况不存在；
②当AD=DE时，由△ABD∽△DCE得，
AD
DE
=
BD
CE
=1，
∴
x
4-y
=1，
即4-（
1
4
x2-
2
x+4）=x，
解得x1=4
2
-4，x2=0（舍去），
即BD=4
2
-4；
③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45°，又∠BAC=90°，
∴∠1=∠DAE=45°，
∴BD=
1
2
BC=2
2
；
综上所知当BD=4
2
-4或2
2
时，△ADE能成为等腰三角形．