Question

已知圆C:x^2+y^2+Dx-6y+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称

1 求圆的半径
2 若OP垂直于OQ，其中O为坐标原点，求直线PQ方程
3 直线l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被园截的弦长最短时，求m的值

Answer 1

1. 圆方程: (x + D/2)² + (y - 3)² = 8 + D²/4
有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称, 圆心(-D/2, 3)在直线上: -D/2 - 3 + 4 = 0, D = 2
r² = 8 + 4/4 = 9
r = 3

2.OP垂直于OQ, 显然，PQ为一个直径, 且与x-y+4=0 (斜率1)垂直, PQ斜率= -1
圆心(-1, 3)
直线PQ方程: y - 3 = -1(x + 1), y = 2 - x

3. 弦长最短, 为0, 圆心与直线的距离为半径:
r = 3 = |-2m + 1 - 3m + 3 + 8m - 6}/√[(2m - 1)² + (m - 1)²] = |3m -2|/√[(2m - 1)² + (m - 1)²]
36m² - 51m + 14 = 0
(12m - 7)(3m - 2) = 0
m = 7/12或m = 2/3