Question

一道数学题，函数的。急QUQ，本来想看菁优网解析的但是优点不够了...

（2008•扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=14t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=-12t+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m=kt+b（k≠0），
将 t=2 m=92 ， t=4 m=88
代入 2k+b=92 4k+b=88 ，
解得 k=-2 b=96 ，
∴m=-2t+96．

（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，
则P1=(-2t+96)(1 4 t+25-20)
=-1 2 t2+14t+480=-1 2 (t-14)2+578
∴当t=14时，P1有最大值，为578元．
P2=（-2t+96）•（30-20）=-20t+960
∵当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小，
∴t=21时，P2有最大值，为540元．
∵578＞540，
∴第14天日销售利润最大．

（3）P1=(-2t+96)(1 4 t+25-20-a)
=-1 2 t2+(14+2a)t+480-96a
对称轴t=14+2a，
因为a=-1 2 ，只有当t≤2a+14时，P随t的增大而增大
又每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，
故：20≤2a+14
∴a≥3，
即a≥3时，P1随t的增大而增大，
又a＜4，
∴4＞a≥3．

Answer 2

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