Question

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证:存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)+f'(-ξ)=0

题目抄错了。。应该是

使得f'(ξ)+f(-ξ)=0

各位大神再看看谢！

Answer 1

证明：根据柯西定理'若
存在f（x）在（a，b）内连续且可导，则比有一个数§使得f'（x）＝0，故：f'（x）＝－f'（x）＝f'（－x）．即，f'（§）＝f '（－ §）。证毕希望采纳

追问

1.不明白f'（x）＝－f'（x）＝f'（－x）

2.题目改正后怎么证谢谢。。

追答

呵呵！如果f'($)+f'（-$)=0那不就是说f'(x)=-f'(x)吗，

Answer 2

感觉这个题有问题，当ξ∈(a,b)，则:-ξ∈(-b,-a)，而f(x)在区间(-b,-a)并没有被定义，也就是说数值不定，同时也可能是不可导的，怎么可能会有个f'(-ξ)？

关于你的问题补充：
前面已经说了，当ξ∈(a,b)时，f(-ξ)是没定义的，所以，你的题目还是错的。

追问

题目抄错了。。后面如果是f'(ξ)+f(-ξ)=0 能证么。。

追答

已经回答了