Question

如图:已知直角梯形ABCD,∠B=90°,AD‖BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点。

（1）求证：CD与圆O相切。
（2）若OC=8㎝，OD=6㎝，求CD的长。

Answer 1

(1)如图，作DC、CB的延长线，交于E点，作OF⊥DC于F

∵∠A=∠OBE=90°，AO=OB，∠1=∠2

∴△OAD≌△OBE

∴OE=OD，AD=BE

∴AD+BC=EB+BC=EC

∵AD+BC=CD

∴CD=EC

∵OC是公共边

∴△OCD≌△OCE

∴∠3=∠4，∴∠DOC=∠EOC=90°

又∵OC是公共边

∴Rt△OCB≌Rt△OCF

∴OB=OF

∵OF⊥DC

∴CD与圆O相切

 

(2)

∵∠DOC=90°，OC=8㎝，OD=6㎝

∴CD=10cm（勾股定理）

Answer 2

梯形ABCD的面积=（AD+BC）xAB/2
因为O是AB的中点，所以AO=BO=1/2AB
三角形AOD+三角形BOC的面积=AOxAD/2+BCxBO/2=(1/2ABxAD+1/2ABxBC)/2=(AD+BC)xAB/4
所以两个小三角形的总面积占梯形面积的一半，那么三角形DOC的面积也=梯形ABCD面积的一半
那么S三角形DAO+S三角形CBO=S三角形DOC
从O点向DC作三角形DOC的高，过E点，那么三角形DOC面积=DCxOE/2
因为DC=AD+BC
所以三角形DOC面积=（AD+BC)xOE/2
（AD+BC)xOE/2=(AD+BC)xAB/4
所以OE=1/2AB
OE垂直于DC且等于AB的一半，所以CD与圆O相切。
因为三角形OED全等于三角形OAD，三角形OBC全等于三角形OEC
所以角DOC为直角。
DC=OC的平方+OD平方=10

+

Answer 3

两条辅助线：OF∥AD交CD于F OE⊥CD于E
求三角形ODC面积，以下省略面积符号S
ODC=ODF+OCF=0.5AB×OF=0.5AB×0.5（AD+BC）=0.5AB×0.5CD
ODC=0.5OE×CD
由以上两种算法面积必须相当
OE=0.5AB=OA=OB
接下来就好做了，O到CD的距离就是OE，CD与圆O相切
第二问，根据直角三角形OAD与OED、OBC与OEC分别全等得出角DOC=90°
勾股定理，CD=10