Question

微积分题的问题

分段函数 x.arctan（1/x）,x不等于0 ；
0，x等于0
在x=0处为什么不可导？怎么求的？求过程

Answer 1

解：首先x=0处是连续的，因为
lim x->+0 xarctan(1/x)=0×π/2=0
lim x->-0 xarctan(1/x)=0×(-π/2)=0
可导必连续，但连续未必可导。下面要证不可导。
考虑导函数的左右极限。
x≠0时，f'(x)=arctan(1/x)+x*1/[1+(1/x)^2]*(-1/x^2)
=arctan(1/x)-x/([1+x^2)
左极限为-π/2，右极限为π/2
导函数左右极限不等。故在x=0处为什么不可导。

Answer 2

limxarctan（1/x）/x＝limarctan（1/x） arctan（1/x）极限不存在

Answer 3

令1/x=t,则x趋零即t趋无穷大
那么lim(arctant)/t，可用洛比达。。。极限不存在