Question

数学级数问题

对于缺少偶数项的幂级数求半径怎求？比如limn趋于无穷时|an\an+1|＝3,则幂级数求和符号n从1到无穷anx^2n+1的收敛半径是？n和n+1是下标，求和符号和极限的下标写不了，用文字叙述的，能看明白就行，请解答一下，谢谢

Answer 1

 

注意：1/3只是通项为anx^n 的幂级数的收敛半径，但这里的通项是anx^(2n+1).

 

追问

这个级数缺少偶数项，那应该用哪个公式计算？另外，我不懂为什么开根号。请详细解答，谢谢

追答

不管是少奇数项还是少偶数项，上面第二种方法就是通用的方法。在第二种方法中，只有当3x^21时，原幂级数就是发散的了。

即然当3x^2<1时级数收敛，那也就是|x|<1/√3时收敛啦.

由3x^2<1变为|X|<? 你该会吧？是不是要开方？

Answer 2

仍然可以使用达朗贝尔审敛法，柯西审敛法等判别法
幂级数Σ[n=(1,∝)] anx^(2n+1)
因为lim[n→∝] |a(n+1)/an|=1/R=3
所以幂级数Σ[n=(1,∝)] anx^n)的收敛半径为1/3，收敛区间为(-1/3,1/3)
所以幂级数Σ[n=(1,∝)] an(x^2)^n的收敛半径为√(1/3)=√3/3
所以幂级数Σ[n=(1,∝)] anx^(2n+1)的收敛半径为√3/3，收敛区间为(-√3/3,√3/3)

Answer 3

好难啊~这是高中的题吗？还是大学的？