Question

请教一道线性代数基础题

3阶方阵A与1 0 0
0 1 0

0 0 -2

相似，则|A^-1 + A|=？
谢谢

Answer 1

设 P^-1AP = diag(1,1,-2)
则 P^-1A^-1P = diag(1,1,-1/2)
所以 P^-1 (A^-1+A) P = diag(2,2,-5/2)
所以 |A^-1+A| = |diag(2,2,-5/2)| = -10.

或者:
A 的特征值为 1,1,-2
所以 A^-1+A 的特征值为(1/x+x) : 2,2,-5/2
所以 |A^-1+A| = 2*2*(-5/2) = -10.

Answer 2

|A^-1 + A|
=|A^-1(E+A^2)|
=|A^-1||E+A^2|
=1/|A| * |E+A^2|
=1/(-2) * ((1+1^2)(1+1^2)(1+(-2)^2)
=-10

追问

谢谢，这个方法中A^2=(1^2)(1^2)((-2)^2)是怎么来的？
我不记得有这个性质了

追答

设A=PDP-1(D是对角阵）
则|E+A^2|=|P(E+D^2)P-1|
=|P||E+D^2||P-1|
=|E+D^2|

Answer 3

楼上正确的。