Question

关于级数敛散性的判断。要详细过程。

Answer 1

先看是不是绝对收敛
所以每项其实是√(n+0.5)-√n
=[√(n+0.5)-√n][√(n+0.5)+√n]/[√(n+0.5)+√n]
=0.5/[√(n+0.5)+√n]
然后用比值比较判别法
和1/√n比较
相除取极限可得0.25,所以收敛性一致
而1/√n级数发散
所以不绝对收敛

用莱布尼兹级数判别法判定条件收敛
显然是交错符号的
而且bn=√(n+0.5)-√n>0
bn=[√(n+0.5)-√n][√(n+0.5)+√n]/[√(n+0.5)+√n]
=0.5/[√(n+0.5)+√n]
随着n增大，bn减小
所以有b1>b2>...>bn>...
而且lim n->∞ bn=0

所以由莱布尼兹级数判别法
此级数条件收敛