Question

已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)1,若m、n属于[-1,1],m+n≠0，有[f(m)+f(n)]/m+n>0,

若f(x)<=t^2-2at+1对所有x属于[-1,1],a属于[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围、

Answer 1

[f(m)+f(n)]/(m+n)>0这个条件给的是函数的单调性.
m>-n时，f(m)+f(n)>0→f(m)>-f(n)=f(-n)，所以f(x)是增函数；
m<-n时，f(m)+f(n)<0→f(m)<-f(n)=f(-n)，所以f(x)是增函数.
所以f(x)的最大值为f(1).
因为f(x)≤t²-2at+1，所以只需f(x)的最大值≤t²-2at+1
因为f(1)=1，所以1≤t²-2at+1，即-2at+t²≥0.
令g(a)=-2ta+t²，-1≤a≤1，则g(a)是单调函数.
所以g(-1)≥0且g(1)≥0.，解得t≤-2或t≥2.

追问

为什么变成关于a的一次函数。不能按关于t的二次函数么
或者直接t^2》2at,讨论t的正负。然后消去t，也不行吗

追答

按你说的思路也行的，看作关于a的一次函数的方法叫主元法，对于更复杂的一些式子来说解这类问题比较简单。例如 本题最后的不等式如果改为t²-2at+1≥0，主元法就比较容易了，讨论则较为困难。

【数不胜数】军团为您解答，不明白追问，明白可以选采纳^_^

追问

我的老师说按g（a）做的，他说不能看成二次函数，说那样成了解不等式而不是求恒成立，这话咋理解

追答

按二次函数不是求恒成立了，求恒成立没定义域。讨论t≥0与t<0解.
t≥0时，t≥2a，所以t≥(2a)max，所以t≥2；
t<0时，t≤2a，所以t≤(2a)min，所以t≤-2.

我和你的老师是同行^_^

【数不胜数】军团为您解答，不明白追问，明白可以选采纳^_^

追问

t≥0时，t≥2a，所以t≥(2a)max，所以t≥2；
t<0时，t≤2a，所以t≤(2a)min，所以t≤-2.

这么做的话对么。a是定义域还是t是定义域啊。。

追答

t≥0时，t≥2a，对任意的a∈[-1,1]都成立，这是恒成立问题，所以t≥(2a)max，不是a的范围是t的定义域，是恒成立问题。下面那个类似。