Question

若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x^2+y^2+2x-4y+1=0截的弦长为4，则ab的最大值

Answer 1

x^2+y^2+2x-4y+1=0表示圆心M(-1，2)、半径为2的圆。
设该圆与直线2ax-by+2=0交于A、B，
因为弦长AB=4=圆的直径，
所以线段AB就是圆的一条直径，
即 圆心M(-1，2)在直线2ax-by+1=0上，
M(-2,1)带入直线方程得
-4a-b+1=0
b=1-4a
则 ab=a(1-4a)=-4a²+a
当a>0时， 根据二次函数y=-4a²+a性质，
得到ab的最大值是1/16

Answer 2

圆：(x+1)²+(y-2)²=4
圆心(-1,2)，半径r=2
弦长为4=直径
所以，直线过圆心
把圆心(-1,2)代入直线得：-2a-2b+2=0
得：a+b=1
由基本不等式：a+b≧2√ab
即：1≧2√ab
则：ab≦1/4
当且仅当a=b时，取等号
所以，ab的最大值为1/4

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！

Answer 3

圆:(X+1)^2+(Y-2)^2=4,圆心坐标是(-1,2)
圆心到直线的距离d=|-2a-2b+2|/根号(4a^2+b^2)
勾股定理得到:d^2+(4/2)^2=r^2
4(a+b-1)^2/(4a^2+b^2)=4-4=0
即有a+b-1=0
ab<=(a+b)^2/4=1/4
即ab的最大值是:1/4,当a=b=1/2时取得到.