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f(x0)不等于0时, f(x)在x0可导是|f(x)|在x0可导的充分必要条件
因为 f(x0)不等于0, 存在x0 的邻域 (x0-t, x0+t), t>0, 使得 f(x) 与 f(x0)同正负,
如果f(x0)>0, 在(x0-t, x0+t)上, |f(x)|=f(x) ===> |f(x)|在x0可导 等价于 f(x)在x0可导
如果f(x0)<0, 在(x0-t, x0+t)上, |f(x)|=-f(x) ===> |f(x)|在x0可导 等价于 f(x)在x0可导
因为 f(x0)不等于0, 存在x0 的邻域 (x0-t, x0+t), t>0, 使得 f(x) 与 f(x0)同正负,
如果f(x0)>0, 在(x0-t, x0+t)上, |f(x)|=f(x) ===> |f(x)|在x0可导 等价于 f(x)在x0可导
如果f(x0)<0, 在(x0-t, x0+t)上, |f(x)|=-f(x) ===> |f(x)|在x0可导 等价于 f(x)在x0可导
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必要条件
丨f(x)|在x0可导设为A,那么x趋于x0时:
A=lim(|f(x)-f(x0)|)/(x-x0)=lim[1/(|f(x)|+|f(x0)|](|f(x)|^2-|f(x0)|^2)/(x-x0)
=lim[((f(x)+|f(x0))/(|f(x)|+|f(x0)|](f(x)-f(x0))/(x-x0)
=[f(x0)/|f(x0)|]lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)
lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)=A|f(x0|/f(x0)
丨f(x)|在x0可导设为A,那么x趋于x0时:
A=lim(|f(x)-f(x0)|)/(x-x0)=lim[1/(|f(x)|+|f(x0)|](|f(x)|^2-|f(x0)|^2)/(x-x0)
=lim[((f(x)+|f(x0))/(|f(x)|+|f(x0)|](f(x)-f(x0))/(x-x0)
=[f(x0)/|f(x0)|]lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)
lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)=A|f(x0|/f(x0)
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lim【f(x0+3△x)-f(x0)】/△x=3lim【f(x0+3△x)-f(x0)】/(3△x)=3f'(x0)=1
上面的式子是根据导数的定义做的变型
所以f'(x0)=1/3
上面的式子是根据导数的定义做的变型
所以f'(x0)=1/3
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看到这题好熟悉,又好陌生,要是时间倒退个5-6年,或许还能帮到你
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