Question

f(x0)不等于0,则f(x)在x0可导是|f(x)|可导的什么条件,给出证明过程

f(x)在x0处连续

Answer 1

f(x0)不等于0时， f(x)在x0可导是|f(x)|在x0可导的充分必要条件

因为 f(x0)不等于0， 存在x0 的邻域 （x0-t, x0+t), t>0, 使得 f(x) 与 f(x0）同正负，
如果f(x0)>0, 在（x0-t, x0+t)上， |f(x)|=f(x) ===> |f(x)|在x0可导 等价于 f(x)在x0可导
如果f(x0)<0, 在（x0-t, x0+t)上， |f(x)|=-f(x) ===> |f(x)|在x0可导 等价于 f(x)在x0可导

Answer 2

必要条件
丨f(x)|在x0可导设为A，那么x趋于x0时：
A=lim(|f(x)-f(x0)|)/(x-x0)=lim[1/(|f(x)|+|f(x0)|](|f(x)|^2-|f(x0)|^2)/(x-x0)
=lim[((f(x)+|f(x0))/(|f(x)|+|f(x0)|](f(x)-f(x0))/(x-x0)
=[f(x0)/|f(x0)|]lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)

lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)=A|f(x0|/f(x0)

Answer 3

lim【f(x0+3△x）-f(x0）】/△x=3lim【f(x0+3△x）-f(x0）】/(3△x)=3f'(x0)=1
上面的式子是根据导数的定义做的变型
所以f'(x0)=1/3

Answer 4

看到这题好熟悉，又好陌生，要是时间倒退个5-6年，或许还能帮到你