Question

定积分问题

d（∫0→π cos^3x=

答案是0，请问这是怎么出来的，有点不太理解。。

Answer 1

求定积分：【0，π】∫cos³xdx
解：原式=【0，π】∫cos²xd(sinx)=【0，π】[cos²xsinx-∫sinxd(cos²x)]
=【0，π】[cos²xsinx+2∫sin²xcosxdx]=【0，π】[cos²xsinx+2∫sin²xd(sinx)]
=【0，π】[cos²xsinx+(2/3)sin³x]=0
【从被积函数f(x)=cos³x在区间[0，π]上的图像也可看出此定积分为0；其图像关于点(π/2，0)
中心对称，在[0，π/2]上图像的面积为正，在[π/2，π]上图像的面积为负，且二者的绝对值相
等，故其代数和为零】

Answer 2

换元，令x-π/2=t，则x=t+π/2
x=0 → t=-π/2
x=π → t=π/2
于是∫[0,π]cos³xdx=∫[-π/2,π/2]cos³(t+π/2)dt=-∫[-π/2,π/2]sin³tdt
由于sin³t是奇函数，于是-∫[-π/2,π/2]sin³tdt=0