Question

抛物线y=ax²-4与x轴的两交点为A、B，顶点坐标为C，△ABC的面积为12。

（1）判断△ABC的形状并求△ABC的周长。
（2）求点A到直线BC的距离。

Answer 1

1、y=ax²-4的顶点纵坐标=-4
∴1/2AB×|-4|=12
AB=6
∴ax²-4=0
x=±2√a/a(a>0)
∴2√a/a+2√a/a=6
a=4/9
∴方程：y=4/9x²-4
A坐标（3，0）B(-3,0)
C坐标（0，-4）
∴在Rt△AOC和Rt△BOC中
OA=3，OB=3，OC=4
∴由勾股定理：AC=BC=5
∴△ABC是等腰三角形
∴△ABC周长=AB+AC+BC=6+5+5=16
2、做AD⊥BC
∴∠ADC=∠BOC=90°
∠ABD=∠CBO
∴△BOC∽△ADB
∴AB/BC=AD/OC
6/5=AD/4
AD=24/5=4.8
(也可以用解析几何：先求BC方程，AD斜率×BC的斜率=-1，求出AD方程，解方程组，求出交点坐标，最后用两点公式求出）

Answer 2

⑴在y=ax²-4中令y=0,得ax²－4＝0解得x＝±2√a/a(a﹥0时）
∴抛物线y=ax²-4(a﹥0时）交x轴的两交点为A（﹣2/√a,0）、B（﹢2/√a,0），
顶点坐标为C（0，﹣4﹚；
∵A、B关于直线x＝0对称，点C在直线x＝0上
∴CA=CB即△ABC是等腰三角形
∵△ABC的面积为12
∴½AB·OC＝12即½|﹣2/√a－2/√a|*|﹣4|＝12也即8/√a＝12
∴a＝4/9,
A(﹣3,0),B(3,0),CA=CB＝√﹙OA²＋OC²﹚＝√﹙3²＋4²﹚＝5
△ABC的周长＝AB＋BC＋CA＝[3－﹙﹣3﹚]＋5＋5＝16
⑵12＝S⊿ABC＝½·BC·点A到直线BC的距离＝½×5×点A到直线BC的距离
∴点A到直线BC的距离＝24/5

Answer 3

顶点坐标（0，-4）,与X轴相交
a>0
当y=0时
x=±2/√a
S⊿ABC=12=(X1-X2)*1/2*OC=4/√a*1/2*4=8/√a
a=4/9
AO=BO=3, OC=4
AC=BC=5
周长=5+5+6=16
勾股定理可以算出A到BC的距离为24/5

Answer 4

（1）抛物线y=ax²-4 的 对称轴 x 坐标 为 0，则 顶点坐标为 (0,-4)
△ABC的面积=|AB|*4/2=12 =>|AB|=6
△ABC为等腰三角形 △ABC的周长=3+3+5+5=16
（2）A到直线BC的距离 * |BC| /2 =△ABC的面积=12
A到直线BC的距离=24/5