Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1/3）=1

如果f(x)+f(2/3-x)小于等于2，求x的值

Answer 1

令x=y=1
则xy=1
f（xy）=f（x）+f（y）
所以f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

f(x)+f(2-x)<2
f(x)+f(y)=f(xy)
所以f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]
f(1/3)=1
2=f(1/3)+f(1/3)=f(1/3*1/3)
所以f[x(2-x)]<f(1/3*1/3)
f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数
所以x(2-x)>1/3*1/3
x^2-2x+1/9<0
9x^2-18x+1<0
所以(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3
且有定义域x>0
所以(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3

Answer 2

因为f(1/3)=1且f（xy）=f（x）+f（y），所以f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2，f(x)+f(2/3-x)=f(x(2/3-x))，因为y=f（x）是定义在（0，+∞)，所以由f(x)+f(2/3-x)小于等于2可得x(2/3-x)大于等于1/9，解不等式得x大于等于1/3且小于等于1/3，所以x=1/3