Question

将连续的自然数1至2004按如图方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数， 要使这个正方形框出的1

将连续的自然数1至2004按如图方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数， 要使这个正方形框出的16个数之和分别等于：（1）2000，（2）2004。这是否可能？若不可能，试说明理由，若可能，请写出该方框16个数中的最小数和最大数。

1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
... ...
199619971998199920002001200120032004

Answer 1

设方框中 左上角的数为n
则选择的方框中有
n n+1 n+2 n+3
n+7 n+8 n+9 n+10
n+14 n+15 n+16 n+17
n+21 n+22 n+23 n+24
所以加起来等于16n+192 令其等于分别等于2000 和 2004,得
16n+192=2000
16n+192=2004
得出n=113 或n=113.25 因为n为整数 所以等于2000时候可能 ，2004时候不可能
又∵113/7=16余1，是第16行第一个数，符合要求此时最小数为113，最大数为137

Answer 2

（1）设框出的正方形左上顶点是a，其中a=1+7n或2+7n或3+7n或4+7n(其中n=0,1,2,...,283)
框出的16个数的和就是(4a+6)*4+7*4*(1+2+3)=16a+192
所以a=10时，框出的16个数和为16*10+192=352
（2）令16a+192=2000得a=113 即a=1+7*16 可能
令16a+192=2009解得a不为整数 故不可能
当a取最小值1时16a+192取得最小值 即16*1+192=208（此时a=1+7*0）
当a取最大值1985时16a+192取得最大值 即16*1985+192=31952（此时a=4+7*283）

Answer 3

最大数为137。