Question

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,- 根号3

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-根号3）（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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Answer 1

解：（1）C（3，0）；

（2）①抛物线y=ax2+bx+c，
令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵b2=2ac，
∴4ac-b24a=
4ac-2ac4a=
2ac4a=c2，
∴点P的坐标为（-
b2a，c2）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（-
b2a，0）．
根据题意，得a=a′，c=c′，
∴抛物线F′的解析式为y=ax2+b'x+c．
又∵抛物线F′经过点D（-
b2a，0），
∴0=a×
b24a2+b′(-
b2a)+c．
∴0=b2-2bb'+4ac．
又∵b2=2ac，
∴0=3b2-2bb'．
∴b：b′=2：3．
②由①得，抛物线F′为y=ax2+32bx+c．
令y=0，则ax2+32bx+c=0．
∴x1=-
b2a，x2=-
ba．
∵点D的横坐标为-
b2a
∴点C的坐标为（-
ba，0）．
设直线OP的解析式为y=kx．
∵点P的坐标为（-
b2a，c2），
∴c2=-
b2ak，
∴k=-
acb=-
2ac2b=-
b22b=-
b2，
∴y=-b2x．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴ax2+bx+c=-b2x．
∴x1=-
b2a，x2=-
ba．
∵点P的横坐标为-
b2a，
∴点B的横坐标为-
ba．
把x=-
ba代入y=-b2x，
得y=-b2（-
ba）=b22a=-
2ac2a=c．
∴点B的坐标为（-
ba，c）．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．

Answer 2

解析式为y=√3/9x²-2√3/3x,
△AOB是等腰△，OB：AB：OA=1：1：√3，OA=6，∠OBA=120°
若存在点Q（X，Y）符合条件，显然OA为底边不可能，∴OA为腰，
①若OQ为另一腰，则∠AOQ=120°，OQ=OA=6，
∴Q（-3，3√3）或（-3，-3√3）
②若AQ为另一腰，则∠OAQ=120°，OA=AQ=6，
∴Q（9，3√3）或（9，-3√3）
代入y=√3/9x²-2√3/3x，
（-3，3√3）和（9，-3√3）符合题意。
∴点Q坐标为（-3，3√3）和（9，-3√3

Answer 3

把q点点设成（m，n)，再用相似比，来解就好了，在带进抛物线看是否符合题意。