Question

如图,圆O的半径r=2,弦AB=2根号3,点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任意一点。（点C、D均不与A、B重合）

（1）求∠ACB:
（2）求△ABD的最大面积。

Answer 1

（1）连结OA、AD、BD，作OM⊥AB于M，则AM＝1/2 ×AB＝√3.
在ΔAOM中，易得sin∠AOM＝AM/AO=√3/2,∴∠AOM＝60°
∴∠ADB＝∠AOM＝60° ∠C＝180°－∠ADB＝120°
（2）解：
因为△ABD的一条边AB是确定的，所以当AB边上的高h最大时S△ABD最大
即当D到AB的距离最大时S△ABD最大
显然当D为弧AB中点时h最大
连接DO并延长交AB于E，连接OA
根据“过弧的中点的直径垂直平分弧所对的弦”的性质得：
OE⊥AB，AE＝AB/2＝√3
因为OA＝2
所以根据勾股定理得OE＝1
所以h＝DE＝2＋1＝3
所以此时S△ABD＝AB*DE/2＝2√3*3/2＝3√3