Question

已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．

（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大，最大面积是多少？
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长．

Answer 1

     

 

当x=√3时，y最大，y=√3

当BD=ED,ΔDCF∽ΔEFD则有ED/DF=DF/FC或DF/ED=DF/FC

则

Answer 2

解：（1）易得△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，

∴CD=DF÷sin60°= 2 3 3 x．

∠EDF=90°，

BD=BC-CD=ED=4-2 3 3 x．

y=DF×ED÷2= 1 2 x（4-2 3 3 x）=-3 3 x 2 2x，

∵D在BC上， ∴CD＜4， 当CD=4时，CF=2，DF=2 3 ， DF≤2 3 （等于2 3 时，D和B重合） ∴自变量x的取值范围0≤x≤2 3 ．

（2）当x= 3 ，△EDF的面积最大． 最大面积是= 3 ．

（3）当△DCF∽△EFD， ∴∠FED=∠FDC=30°．

∴DF= 3 3 DE= 3 3 BD．

∵DC=4-BD，∠C=60°，

∴DF= 3 2 CD= 4 3 -3 BD 2 ，

∴ 3 3 BD= 4 3 -3 BD 2 ．

解得：BD=2.4． 当△DCF∽△FED，

同理可得：BD= 4 3 ，

∴BD= 4 3 或2.4．

追问

sin 我们还没学

追答

我教你。就是对边比斜边

追问

好吧，看你这么努力的份上，采纳你的，尽管我还是不用你的方法

Answer 3

1.因为△ABC为等边△ABC，所以∠C=60°
在RT△CDF中，sin∠C=DF/DC
所以DC=DF/sin∠C=x/sin60°=x/(√3/2)=2√3x/3
所以BD=BC-CD=4-2√3x/3
因为ED‖AC
所以BE:BD=BA:BC=1
所以BE=BD，又∠B=60°，△DBE为等边三角形
所以DE=BD=4-2√3x/3
因为ED‖AC，DF⊥AC，所以DF⊥ED
△EDF为直角三角形
所以面积y=DE*DF/2=(4-2√3x/3)x/2=-√3/3x^2+2x
y=（-√3/3）x^2+2x
定义域为x∈（0，2√3）（注：2√3为三角形ABC的高）

2.y=（-√3/3）x^2+2x，为开口向下的抛物线，故有最大值
当x=-2/(-2√3/3)=√3时y值最大（注：抛物线顶点横坐标x=-b/2a）
此时最大值y=（-√3/3）*√3^2+2√3=√3
即最大面积为√3

另一种方法：将y=（-√3/3）x^2+2x配方
y=（-√3/3）x^2+2x=（-√3/3）（x^2-2√3x+3-3)=（-√3/3）（x-√3)^2+√3
所以当x=√3时y值最大，且最大值为√3

3.因为∠EDF=∠CFD=90°
所以若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似
只可能是△DCF∽△FED或△DCF∽△EFD
设BD=a，ED=BD=a，CD=4-a,CF=CD/2=(4-a)/2，DF=√3CF=√3(4-a)/2
（1）△DCF∽△FED
所以∠CDF=∠EFD
EF‖DC
又ED‖AC
所以四边形EFCD为平行四边形
所以ED=CF
a=(4-a)/2
a=4/3

(2)△DCF∽△EFD
∠DCF=∠EFD,而∠DCF=60°
所以∠EFD=60°
ED:DF=tan60°=√3
ED=√3DF
即：a=√3*√3(4-a)/2=3(4-a)/2
解之得a=12/5