Question

如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C.延长线AB交CD与E,连接AC,做∠DAC=∠A

如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C.延长线AB交CD与E,连接AC,做∠DAC=∠ACD,做AF⊥ED与F,交圆O于G
[1]求证:AD是圆O的切线
[2]如果⊙O的半径=6,EC=8,求GF的长

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠DAC=∠ACD，∠OCA+∠DAC=90°
∴∠0AC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：连接BG；
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE=OC2+EC2=10．
∴AE=OE+OA=16．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．
∴AFOC=AEOE．
即：AF6=1610．
∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE．
∵∠BAG=∠EAF，
∴Rt△ABG∽Rt△AEF．
∴AGAF=ABAE．
即：AG9.6=1216．
∴AG=7.2．
∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4（cm）．