Question

如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CA=10,CB=40/3,弦CE⊥AB于点F,点C是弧AD的中点,连接BD并延长交EC于点

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，CA=10，CB=40/3，弦CE⊥AB于点F，点C是弧AD的中点，连接BD并延长交EC于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q
（1)求CQ的长
（2）求证AF·BF=GF·PF
（3）求AD的长

Answer 1

1、∵C是弧AD的中点，
∴〈ABC=〈CBD，
∵〈CAD=〈CBD，（同弧圆周角相等），
∴〈CAQ=〈CBA，
∵〈ACQ=〈BCA，（公用角），
∴△ACQ∽△BCA，
∴CQ/AC=AC/BC，
∴CQ=AC^2/BC=10^2/(40/3)=15/2.
2、∵〈ADB=90°，（半圆上圆周角是直角），
∴〈DAB=90°-〈ABD，
∵〈FGB=90°-〈FBG，
∴〈PAF=〈GBF，
∵〈AFP=〈GFB=90°，
∴RT△AFP∽RT△GFB，
∴AF/GF=PF/BF，
∴AF*BF=GF*PF。
3、由1所求，CQ=15/2，
根据勾股定理，AQ=√（AC^2+CQ^2)=25/2,
BQ=BC-CQ=40/3-15/2=35/6,
根据相交弦定理，
AQ*DQ=CQ*BQ，
（25/2）*DQ=（15/2）*35/6，
∴DQ=7/2，
∴AD=AQ+DQ=25/2+7/2=16。

Answer 2

⑴∵弧AC=弧CD，∴∠CBA=∠DBC，
∵∠CAQ=∠DBC，∴∠CAQ=∠CBA，又∠ACQ=∠ACQ，
∴ΔCAQ∽ΔCBA，∴CA/CQ=CB/CA，∴CQ=AC^2/BC=15/2。
⑵∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+BAP=90°，
∵GF⊥AB，∴∠G+∠ABD=90°，∠AFP=∠GFB=90°，
∴∠BAD=∠G，
∴ΔFPA∽ΔFBG，∴AF/GF=PF/BF，
∴AF·BF=GF·PF。
⑶AQ^2=√(AC^2+CQ^2)=25/2
又QA*QD=QC*QB(可从ΔQAC∽ΔQBD得出)，
∴QD=15/2*35/6÷25/2=7/2，
∴AD=AQ+QD=16。

Answer 3

1、∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∴在Rt△ABC中：AC=10=30/3，BC=40/3
那么根据勾股定理：AB=50/3
∵C是弧AD的中点，即弧AC=弧CD
∴∠DBQ(∠DBC)=∠ABC=∠CAQ(∠CAD)
∵∠ACQ=∠BCA=90°
∴△ABC∽△CAQ
∴AC/CQ=AB/AC
CQ=AC²/AB=10²/(50/3)=6
2、∵CE⊥AB
∴∠PFA=∠GFB=∠ADB=90°
∵∠GBF=∠ABD
∴Rt△BFG∽Rt△BDA
∴∠BGF=∠BAD=∠FAP
∴Rt△BFG∽Rt△PFA
∴GF/AF=BF/PF
即AF·BF=GF·PF
3、

Answer 4

1,弧AC=弧CD， ∠CAQ=∠DBA ∠ACQ=∠BCQ=90
△ACQ∽△BCA
CQ:CA=CA:CB
CQ=CA^2/CB=10^2/(40/3)
=15/2
2, ∠G=∠G ∠PDG=∠BPG=90 △GDP∽△GFB
∠GPD=∠GBF, ∠GPD=∠APF
∠APF=∠GBF ∠AFP=∠GFB=90
△AFP∽△GFB
AF:GF=FP:FB
AF*FP=GF*FB
3.AQ=√(AC^2+CQ^2)=25/2 BQ=BC-CQ=35/6
∠ACQ=∠BDQ=90 ∠CQA=∠DQB
△ACQ∽△BDQ
CQ:DQ=AQ:BQ
DQ=CQ*BQ/AQ=7/2
AD=AQ+DQ=16