Question

再求解一道微积分求体积的题~

求由y=x^2 和y=16 围成的区域绕y=16 旋转之后的体积；该区域绕y=17旋转之后的体积。

Answer 1

题中没有说明白绕轴旋转的角度，按规常可算其旋转一周后的体积，如给定旋转角亦可计算；
对任一x∈[-4,4]，y=x^2~16，微面积ydx绕y=16旋转一周后的微体积是一圆饼dV=πy^2dx；
V=∫dV=∫{-4,4}πy^2 dx=∫{-4,4}π(16-x^2)^2 dx=2∫{0,4}π(16-x^2)^2 dx=2∫{0,4}π(256-32x^2+x^4)dx
=2π(256x-32x^3/3+x^5/5)|{0,4}=1092.27π=3431.46；

对任一x∈[-4,4]，y=x^2~16，微面积ydx绕y=17旋转一周后的微体积是一圆环dV=π[(y+1)^2-1^2]dx；
V=∫dV=∫{-4,4}π[(y+1)^2-1] dx=∫{-4,4}π[(16-x^2+1)^2-1] dx=2∫{0,4}π[(17-x^2)^2-1] dx
=2∫{0,4}π(288x-34x^2+x^4)dx=2π(288x-34x^3/3+x^5/5)|{0,4}=1262.93π=3467.62；