Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B

(1)圆O过椭圆的两个焦点，椭圆的离心率？（2）若椭圆上存在点P，使角APB=90°，求椭圆离心率取值范围？

Answer 1

(1)由题意得:b=c

a^2=b^2+c^2=2c^2
e^2=c^2/a^2=1/2
e=根号2/2
(2) b是圆的半径，
ΔAOP≌ΔPOB （你画图就可看出）
OP²=PA²+OA²=b²+b²
∴OP=√2b
b≤OP≤a
∴b≤√2b≤a
2b²≤a²
2(a²-c²)≤a²
a²≤2c²
1≤2e²
e≥√2/2
∴1>e≥√2/2