Question

如何证明在三角形ABC中sinA+sinB+sinC>2？

希望有详细的解法，
思路简单的解法或者技巧十足的解法都好。
不好意思，我说的是锐角三角形

Answer 1

因为为锐角三角形,则有(A-B)/2的绝对值小于45度,(A+B)/2大于45度.
有SIN(A+B)/2大于COS(A+B)/2
COS(A-B)/2大于COS(A+B)/2
则有:
sin(a+b)/2 * {cos(a-b)/2 - sin(a+b)/2} > cos(a+b)/2 * {cos(a+b)/2 - sin(a+b)/2}
即:
sin(a+b)/2 * com(a-b)/2 + sin(a+b)/2 * cos(a+b)/2 > sin(a+b)/2的平方+cos(a+b)/2的平方
即:
1/2SINA+1/2SINB+1/2SIN(A+B) > 1
SINA+SINB+SINC > 2

(不方便打数学里的符号,将就点看吧)

Answer 2

这里用到算术平均数及几何平均数
(a+b)/2≥(a*b)的平方根
而（a+b+c）/3≥(a*b*c)的立方根
当a=b=c时，等号成立；
结合三角形内角和为180，
也就是说,当a=b=c=60度时
sinA+sinB+sinC
=min（sinA+sinB+sinC）
=3*sin60=3*√3/2>2

Answer 3

因为在钝角三角形中sinA+sinB+sinC都小于2
在直角三角形中sinA+sinB+sinC都等于2
所以：在锐角三角形中sinA+sinB+sinC都大于2

Answer 4

这个命题不正确,,

很显然一个三角型A=120 B=30 C=30
sinA=√3/2=0.866
sinB=1/2
sinC=1/2
和=1.866<2

Answer 5

A=150 B=15 C=15

sinA+sinB+sinC=0.5+0.2588+0.2588=1.0176<2

A=170 B=5 C=5

sinA+sinB+sinC=0.1736+ 0.0872+ 0.0872=0.348

所以题目应该要求是非钝角三角形吧