Question

初中三角形问题

等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，
BD=1/3 BC ,CE=1/3CA, AD，BE相交于点P。求证， AP垂直CP.

Answer 1

证明：连接DE,，过点E作EF垂直BC于点F
所以角DFE=角CFE=90度
由勾股定理得：
DE^2=EF^2+DF^
CE^2=EF^2+CF^2
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=BC=CA
角BAC=角ABC=角C=60度
设BD=x
因为BD=1/2BC CE=1/3CA
所以CE=x
DC=2x
BD=CE
角CEF=90-60=30度
所以CF=1/2CE
所以CF=1/2x
DF=DC-CF=3x/2
所以DE^2=3x
因为CE^2=x^2
DC^2=(2X)^2=4X^2
所以DC^2=DE^2+CE^2
所以角DEC=90度
因为AB=BC(已证）
角ABC=角C=60度（已证）
BD=CE (已证）
所以三角形ABD和三角形BCE全等（SAS)
所以角BAP=角CBE
因为角BAP+角PAE=角ABC=60度
角ABP+角CBP=角ABC=60度
所以角ABP=角PAE
所以角ABP+角BAE=角BAC=60度
因为角APE=角ABP+角BAP
角APE=60度
所以角APE=角C=60度
所以P,D,C,E四点共圆
所以角DPC=角DEC=90度
所以AP垂直CP

Answer 2

取AB上一点F，
使3AF=AB
,这样就形成了十分对称的图形
，设BE与CF交于M,

AD与CF交于N。
第一步，
∠PNM=∠PAC+∠FCA=∠PAC+∠BAD=∠BAC=60度
。第二步
，过F作FG//AC交BE于G，
则GM/ME=FM/MC=FG/EC=FG/[(1/2)AE]=4/3，
又FG/AE=BG/BE=2/3,
所以BM/ME=[2+(4/7)]/[1-(4/7)]=6，
即BM=6ME。
又因为PH/DE=MCMF=3/4
所以BP：PM：ME=3：3：1
又因为CM：MN：NF=3：3：1
且MN=PN
所以PN：NC=3：(3+3)=1：2
又角PNC=60度
所以角APC=90度
即AP垂直PC

Answer 3

连结DE
则ΔEDC为直角三角形 且∠EDC=30º
再证ΔABD≌ΔBEC
从而得到∠AEP=∠ADC,∠APC=∠C=60º
所以PDEC四点共圆（∵∠DPE=∠PBD+∠BDP=∠DAB+∠PDB=120
∴∠DPE+∠ACB=180º
对角互补，证得PDEC四点共圆）
∴∠EPC=∠EDC=30º
∴∠APC=60º+30º=90º
∴AP⊥CP
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设DC中点为Q,连接EQ、DE，
明显：ΔCEQ为正三角形，所以，∠QEC=60度
而ΔEDQ为等腰三角形，所以：∠EDQ=∠QED=∠EQC/2=30度，
所以，∠DEC=90度；
又由于ΔBEA≌ΔADC，所以 ∠AEB=∠ADC
可知：ΔAPE∽ΔACD
∠APE=∠ACD
所以，四边形PECD四点共圆，
所以，∠DPC=∠DEC=90度 (同弧所对圆周角相等)
即：AP垂直CP

========================================================================
取AB上一点F，使3AF=AB,这样就形成了十分对称的图形，
设BE与CF交于M,AD与CF交于N。
第一步，
∠PNM
=∠PAC+∠FCA
=∠PAC+∠BAD
=∠BAC
=60度。
第二步，
过F作FG//AC交BE于G，
则GM/ME
=FM/MC
=FG/EC
=FG/[(1/2)AE]
=4/3，
又FG/AE
=BG/BE
=2/3,
所以BM/ME
=[2+(4/7)]/[1-(4/7)]=6，
即BM=6ME。
又BP/PE
=MC/MF
=3/4,
所以容易得BP:PM:ME=3:3:1，
根据图形的对称性，得
CM:MN:NF=3:3:1，
并且MN=PN，
所以
PN:NC=3:(3+3)=1:2，
又∠PNC=60度，
所以可以得到
∠APC=90度。
即AP⊥PC。
得证。

Answer 4

没图算不了 就算 算出来了，也会有误差

Answer 5

底成高除以2

Answer 6

大哥，这不好说啊