Question

初三数学关于圆的题

如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM,BN为半圆的切线,在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过点O做BC 的垂线OE,垂足为E,与BN相交于点F,过点D做半圆的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q,求证当D在AM上移动时,(点A除外)点Q始终是线段BF的中点

Answer 1

题目出来的时候就开始想了，想了一天，用几何方法我解不出来
下面我用代数方法解得，不知道有没有用。
设D(-1,m)
1.求F点坐标
可知线段BD斜率为-m/2，则线段OF斜率为2/m，可求出F(1,2/m)
2.求Q点坐标
可知线段OD斜率为-m，则线段AP斜率为1/m，可求出P[(m平方-1)/(m平方+1)，2m/(m平方+1)],则可知Q(1,1/m)
下面应该就不用说了吧。求的过程有点繁琐就不写出来了

连接DO,QO
可证△ADO∽△BOQ
所以AD:AO=BO:BQ，即AD*BQ=AO*BO=半径的平方
可证△ADB∽△BOF
所以AD:AB=BO:BF，即AD*BF=AB*BO=2*半径的平方
即AD*BF=2*AD*BQ
所以BF=2*BQ

Answer 2

(1)证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圆的切线，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ACB∽△OBF．
(2)解：由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，
∵AM是⊙O的切线，
∴∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，
∴AD=OB=1，
∵DP切圆O，DA切圆O，
∴DP=DA，
∵△DAB≌△OBF，
∴DA=AO=PO=DP，
又∵∠DAO=∠DPO=90°，
∴正方形AODP，
∴DQ∥AB．
∴BQ=AD=1，
(3)证明：由(2)知，△ABD∽△BFO，
∴=，
∴BF=，
∵DPQ是半圆O的切线，
∴AD=DP，QB=QP，
过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在直角三角形DQK中，
DQ2=QK2+DK2，
∴(AD+BQ)2=(AD﹣BQ)2+22．
∴BQ=，
∴BF=2BQ，
∴Q为BF的中点．

Answer 3

e...e...e...e...e... 好笨！