Question

在椭圆X²/16+Y²/4=1中,过点M(2,1),且被这点平分的弦所在的直线

Answer 1

设而不求法，求出斜率即可。
设直线与椭圆交点(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=4,y1+y2=2
代入椭圆方程得：
x1²/16+y1²/4=1
x2²/16+y2²/4=1，两式相减得
(1/16)·(x1+x2)(x1-x2)+(1/4)(y1+y2)(y1-y2)=0
(x1-x2)/4+(y1-y2)/2=0
∴(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
∴直线方程：y-1=-1/2(x-2)
∴x+2y-4=0

Answer 2

设：弦AB的端点A(x1，y1)、B(x2，y2)， 直线斜率为k
∵M是AB中点
∴x1+x2=4，y1+y2=2 ……①
∵A、B在椭圆上
∴有x1²/16+y1²/4=1
x2²/16+y2²/4=1
两试相减，得：
(x1²-x2²)/16 + (y1²-y2²)/4 = 0
(x1-x2)(x1+x2)/16 = - (y1-y2)(y1+y2)/4
(x1-x2)(x1+x2) = - 4 (y1-y2)(y1+y2)， 把①代入，得：
(x1-x2) = - 2 (y1-y2)，
∴(y1-y2)/(x1-x2)= -1/2
即k=-1/2
∴y-1=(-1/2)(x-2)
即：x+2y-4=0