Question

设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度，求物体下落的s与t

的函数关系

Answer 1

解：f ＝kv
　　由牛顿第二定律，得　mg-f=ma即　mg-kv=mdv/dt
　　整理后，得mdv/（mg-kv）=dt
　　两边积分，得　（-m/k）ln（mg-kv）=t+C₁（C₁为积分常数）
　　由初始条件：t＝0时，v＝0（从静止开始下落的），得　C₁=（-m/k）ln（mg）
　　所以，（-m/k）ln（mg-kv）=t+（-m/k）ln（mg）
　　即　t=（m/k）ln[mg/（mg-kv）]
　　得　v=(mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}
　　因为v=ds/dt，
　　所以s=∫ vdt=∫ (mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}dt
　　=（mg/k）t+（mg/k）×（m/k）×e^(-kt/m)+C₂（C₂为积分常数）
　　=（mg/k）t+（m²g/k²）×e^(-kt/m)+C₂
　　由初始条件：t＝0时，s＝0　得　C₂=-m²g/k²
　　所求的s与 t 的关系是　s=（mg/k）t+（m²g/k²）×e^(-kt/m)-m²g/k²
如帮助到你，望采纳！

Answer 2

(mg-kv)=ma
v=at
s=1/2at^2
联立解得s=1/2(mg/(m+kt))t^2
是要求s和t的关系还是分别求s和t？要是分别求的话条件不足吧

Answer 3

牛顿第二定律：mg-kv=ma，即mg-k*s'=ms"（s"、s'分别是s的二阶导数和一阶导数）

s(t)=gmt/k-C(1)*(m/k)*exp(-kt/m)+C(2)
t=0时，s(0)=-c(1)*(m/k)+C(2)=0
t=0时，v(0)=gm/k+C(1)=0，即C(1)=-gm/k，则C(2)=C(1)*m/k