Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为5π/6,原点到该直线的距离为5π/6，原点到

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为5π/6,原点到该直线的距离为5π/6，原点到该直线的距离为根号3/2

1）求椭圆方程
2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆与P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

题目中“原点到该直线的距离为5π/6 ”应是“原点到该直线的距离为√3/2 ”误写；
（1）由题给条件可得 b/a=|tan(5π/6)|=√3/3，AB=√(a^2+b^2)=2b；
据A、B和原点O组成的RT△面积＝OA*OB/2=AB*(√3/2)/2，可得 ab/2=2b*(√3/2)/2，从而得a=√3，b=a*√3/3=1，所以 椭圆方程为：x^2/3+y^2=1；
（2）若直线存在，因D在以PQ为直径的圆上，故∠PDQ=90°，同时因D是椭圆的上顶点，这样的话P、Q必须位于y轴不同侧（否则∠PDQ<90°），但直线y=kx+2与y轴交点在椭圆上方，无论k为何值，该直线与椭圆的交点都只能在y轴的同一侧，所以符合题目所设条件的斜率k不存在；