Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,求证存在ξ属于(0,1),使f"(ξ)=- f(ξ)/ξ

Answer 1

考察函数 g(x)=xf(x) ，有 g(0)=g(1)=0 ，且 g(x) 在（0，1）内可导，
因此存在 ξ∈(0，1) 使 g'(ξ)=0 ，
即 f(ξ)+ξ*f '(ξ)=0 ，
解得 f '(ξ)= -f(ξ)/ξ 。

追问

是f‘(ξ)=- f(ξ)/ξ

这个题目是这样写的么？

追答

证明：考察函数 g(x)=xf(x) ，有 g(0)=g(1)=0 ，且 g(x) 在（0，1）内可导，
因此存在 ξ∈(0，1) 使 g'(ξ)=0 。
由于 g '(x)=f(x)+x*f '(x) ，
因此 f(ξ)+ξ*f '(ξ)=0 ，
所以 f '(ξ)= -f(ξ)/ξ ，
因此命题得证。