Question

高中数学导数题。

函数F(x)=（x+1)㏑x-x+1 ①若xF'(x)≦x²+ax+1求a的取值范围。②证明（x-1)F(x)≧0这是某一年的高考题。求详细过程，最好还有具体的分析，一般有含参数求参数的题怎么写？

Answer 1

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Answer 2

解：
1、F(x)=（x+1)㏑x-x+1的定义域是（0，正无穷）
因为F`(x)=lnx+[(x+1)/x]-1=lnx+1/x
由xF'(x)≦x²+ax+1得xlnx+1≦x²+ax+1
因为x属于（0，正无穷），所以x>0 ,分离变量a得
a≧lnx-x
令g(x)=lnx-x
只要a≧g(x)的最大值即可
因为g`(x)=1/x-1=(1-x)/x
当0<x<1时g`(x)>0 g(x)在（0，1）上是增函数
当x>1时g`(x)<0 g(x)在（1，正无穷）上是减函数
所以g(x)的最大值是g(1)=ln1-1=-1
所以a≧-1
2、 证明（x-1)F(x)≧0
问题等价于证明①当0<x≦1时, F(x)≦0; ②当x>1时, F(x)≧0.
事实上, F'(x)=lnx+(x+1)/x-1=lnx+1/x=(xlnx+1)/x>0
即F(x)在定义域（0，正无穷）上是单调增加函数
而F(0)=0, 所以当0<x≦1时, 有F(x)<F(0)=0;即①得证
当x>1时,有 F(x)>F(0)=0. 即②得证
综上所述
即(x-1)F(x)≧0得证

Answer 3

F（x）再写清楚一点，㏑x-x+1是指数吗？