Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别在边AD和DC上，且AE=EF，画EF垂直FM交BC于M，则△FMC的周长为？

如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别在边AD和DC上，且AE=EF，画EF垂直FM交BC于M，则△FMC的周长为？

Answer 1

如图，设AH⊥FM   ∠EAF＝α   

∠AFH＝90º-α＝∠AFD   ⊿AFH≌⊿AFD﹙AAS﹚ ∴DF＝HF   AD＝AH＝4＝AB

∴⊿AMH≌⊿AMB﹙斜边及腰﹚ ∴HM＝BM

△FMC的周长＝CF+FM+MC＝CF+FD+MB+MC＝CD+CB＝8

Answer 2

前面那位朋友的解法相当犀利。。。，我这里给出另一种解法以供参考

设AE=EF=x，则DE=4-x，DF=√（8x-16），再令t=√（8x-16） 那么DF=t，CF=4-t

很容易证明△DEF∽△CFM，进而有FM/CF=EF/DE， CM/CF=DF/DE
解得FM=x(4-t)/(4-x) CM=t(4-t)/(4-x)

因此FM+CM+CF=(4-t)(x+t)/(4-x)+(4-t)=(16-t^2)/(4-x)
因为t=√（8x-16），则t^2=8x-6
故上式=(32-8x)/(4-x)=8

这题还是有一定难度的。。。