Question

在集合{1，2，3....,2010}中随机且无关联地抽取a,b,c,则abc+ab+a可被3整除的概率为多少？求详解。。

Answer 1

abc+ab+a=a(bc+b+1)
①a能被3整除时，abc+ab+a可被3整除；

a不能被3整除，但(bc+b+1)能被3整除，
即②b，c被3除都余1，或③b被3除余2且c能被3整除时，abc+ab+a 也可被3整除

集合{1，2，3....,2010}中能被3整除的数有670个，被3除余1、余2的数也各有670个
任意抽取一个数，能被3整除、被3除余1、余2的概率均为1/3

在集合{1，2，3....,2010}中随机且无关联地抽取a,b,c,
则abc+ab+a可被3整除的概率为
1/3+2/3*(1/3*1/3+1/3*1/3)=13/27

追问

为什么括号前面要乘2/3？

Answer 2

首先注意到abc ab a=a（bc b 1)
如果我没记错的话，这道题是2010AMCB卷的题，很幸运，我参加了。设n为0到670的某整数.
如果a=3n，则上式能整除3
如果a≠3n，
当b=3n时，无解；
当b=3n 1时，bc b 1=（3n 1）*c 3n 1 1=3n*c 3n C 2，所以c=3n 1时满足题意；
当b=3n 2时，bc b 1=（3n 2）*c 3n 2 1=3n*c 3n 2c 3，所以c=3n时满足题意
则概率为1/3 2/3*2/3*1/3=13/27