Question

E（S^2)=D(X)求解 概率论求推导

E（S^2)=D(X)求解概率论求推导

Answer 1

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为
Y = (X1+X2+...+Xn)/n
其样本方差为
S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1)
为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A
则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))
=E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )
注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;
VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2
VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）
所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)
= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)
= (n-1) VarX
所以 E S = VarX;得证。
至于VarY = VarX / n的证明可以参考浙大版概率论P121定理一的证明。