Question

求证明一个数学问题

设f(x)三阶可导，且f(1)=-1是其极小值，而f(-1)=3是其极大值.证明存在c:-1<c<1,使f(x)的三阶导函数在c处的函数值等于6

Answer 1

用三次罗尔中值定理就好了
设F(x)=x^3-3x-f(x)+1,F'(x)=3x^2-3-f'(x)
因为F(1)=1-3+1+1=0，F(-1)=-1+3-3+1=0
所以由罗尔中值定理，存在-1<m<1
使得F'(m)=0
而F'(-1)=3-3-0=0，F'(1)=3-3-0=0
所以存在-1<x1<m，m<x2<1
使得F''(x1)=0，F''(x2)=0
于是存在x1<c<x2,
使得F'''(c)=0
即6-f'''(c)=0
f'''(c)=6
这样就找到了符合条件的c