Question

高数问题

不明白等式为什么是这样的？

Answer 1

这里就用了个洛必达法则。就是lim f(x)/g(x)如果是不定式（0/0或者∞/∞）的话，它等于lim f'(x)/g'(x)。具体可以看课本。
注意楼主给出的题目，分子、分母在x趋近于0的时候都是0，所以可以用洛必达法则，那个极限应该等于上下都求导再取极限。下面的求导就是4x³，上面的求导要稍微算一下。
设ln(1+2t)的原函数的F(t)，那么上面的积分就应该是F(x²)-F(0)，求导就是F'(x²)×(x²)（复合函数求导公式）等于2xF'(x²)，而F'(t)就是ln(1+2t)，所以2xF'(x²)=2xln(1+2x²)。
所以就得到等式的右边。

Answer 2

let
d/dx F(x)=ln(1+2x)
g(x) =∫(0->x^2)ln(1+2t)dt
= ∫(0->x^2)dF(x)
=F(x^2)-F(0)
g'(x) = 2xF'(x^2)= 2xln(1+2x^2)

lim(x->0) ∫(0->x^2)ln(1+2t)dt/x^4 (0/0 L' Hospital rule )
=lim(x->0)2xln(1+2x^2)/ (4x^3)