Question

线性代数...详细点，谢谢...

1、设P,B为n阶方阵，且P可逆，则下列运算不正确的是:P-1BP=B，但｜:P-1BP｜=｜B｜为什么正确呢？？？

2、设A为3*3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则R(A)=
3、设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是
A 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解
B 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解
C 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解
D 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解
4、矩阵A=2 0 0 ，0 2 0，0 0 2 的全部特征向量是
5、设3 阶矩阵A的特征值分别为1，1/2,1/3.则｜A*+A-1+E｜=
6、设n阶矩阵A与B，任意x=(x1,x2,...xn)^T，且x^TAx=x^TBx,为什么当A^T=A,B^T=B时，A=B???

Answer 1

1、前者是相似矩阵的定义，P^-1BP只是B的一个相似矩阵；后者根据矩阵乘法的定义可得，其中｜P^-1｜=｜P｜^-1；
2、方程组Ax=0的基础解系=n-R(A)，可得R(A)=1；
3、选D。
若Ax=b有无穷多个解等价于R(A)=R(A,B)<n
则Ax=0有非零解R(A)<n

4、全部特征向量：
a1*[1;0;0]+a2*[0;1;0]+a3*[0;0;1],a1*a2*a3不等于0，a1、a2、a3为实数

5、根据性质：A 的伴随矩阵A *的特征值为｜A｜/λ，逆矩阵A^-1的特征值为1/λ, λ为A的特征值。则A*+A-1+E的特征值为｜A｜/λ+1/λ+1，即13/6,10/3,9/2, ｜A*+A-1+E｜=13/6*10/3*9/2=65/2
6、结论: A是对称矩阵时, 若 X^TAX=0, 则有 A=0.
--X=(0,...,1,...,0)^T 代入可得 aii=0
--X=(0,...,1,...,1,...,0)^T 代入可得 aij=aji=0
所以A,B都是对称矩阵时, A-B也是对称矩阵
由于 X^T(A-B)X=0 即得 A=B.

一字一字打的，望采纳~~

追问

2中为什么方程组Ax=0的基础解系=n-R(A)？？？？

还有4可以详细点么？？？给出过程吧，谢谢....

追答

这个你要学过线性代数的话应该会知道这个性质的，是基础解系的个数，少打了两个字；
这是一条性质：对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n，则任意n-r(A)个线性无关的解都是基础解系。

追问

关键是4 怎么算啊？？？、

追答

可以得到特征值是2，2，2，是三重的，｜λE-A｜=0，就是说这个矩阵是奇异的，有无穷解，特征向量只要满足相互正交就行，所以就找了最简单的单位向量，然后添加系数不失一般性