Question

已知定圆A:(x+1)^2+y^2=16,圆心为A,动圆M过点B（1,0），且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹为C

1.求C的轨迹方程（不用回答）
2过点C(-1,0)任作一条与y轴不垂直的直线交曲线于M,N两点,在X轴上是否存在点H，使HC平分角MHN？存在，求H坐标，不存在，说明理由

Answer 1

1. A的坐标是（-1,0）
设动圆圆心是（a,b),因此动圆的方程是（X-a)^2+(y-b)^2=R^2
因为过(1,0)代入 有 （1-a)^2+b^2=R^2所以R=根号下（1-a)^2+b^2
根据2圆相切，显然是内圆，所以C点到A的距离是根号下b^2+(a+1)^2
所以根号下（1-a)^2+b^2+根号下b^2+(a+1)^2=4这就是C的轨迹方程 自己再化简一下

2.过点C(-1,0)任作一条与y轴不垂直的直线交曲线于M,N两点,是交与哪个曲线？

追问

曲线C，我需要的就是第二问，第一问很简单，就是到两定点A（-1,0）B(1,0)距离之和等于圆A半径=4，即2a=4，a^2=4,c=1,b^2=3,曲线C为椭圆x^2/4+y^2/3=1,你的答案不对

 

MMTTMTTM的回答有些问题，还是不能先猜，而且

 

tan NHC= MP/HP=y1/(4+x1)

tan MHC=NQ/HQ=-y2/(4+x2)

分母不是加而是减，昨晚没发现

应该不能先猜，没有理论根据，在考试中是不给分的

 

Answer 2

1、曲线C为椭圆x^2/4+y^2/3=1
2、存在H(-4,0)满足题意（猜的H，因为做多了发现不是右焦点就是左准线）
当MN垂直x轴时H显然满足；
MN不垂直x轴时
过M、N做MP MQ垂直于x轴
设M(x1,y1) N(x2,y2) 不妨设y2<0
MN直线为y=k(x+1)
HC平分角MHN，即NHC=MHC
tan NHC= MP/HP=y1/(4+x1)
tan MHC=NQ/HQ=-y2/(4+x2)
只要证明tan NHC=tan MHC即可
只要证
y1/(4+x1)=-y2/(4+x2) (1)
y1=k(x1+1) (2)
y2=k(x2+1) (3)
联立：(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0
x1+x2=-8k^2/(3+4k^2) (4)
x1x2=4(k^2-3)/(3+4k^2) (5)
(2)(3)(4)(5)代入(1)可以证明(1)成立
即所求H为(-4,0)

追问

我明白你的思路了，但答题时能用这种先猜再解的方式吗
还是这只是巧合？

追答

当然可以先猜。。
有的题目先猜中结果，再去证方便的不止一点