Question

一道高中的数学题

已知 f（x）=x^3-3ax^2+3X+1在 区间（2，3）上至少有一个极值点。那么a的范围是？

Answer 1

f（x）=x^3-3ax^2+3X+1
所以f'（x）=3x^2-6ax+3，原题转换成了f'（x）=3x^2-6ax+3在 区间（2，3）上至少有一个零点。条件如下：
f'（2）*f'（3）<0，且delta=36a^2-36≥0

得到a的范围是：（5/4，5/3）

Answer 2

f'（x）=3（x^2-2ax+1）=3[（x-a)^2+1-a^2]
当 1-a^2≥0时，f'（x）≥0，f（x）在R上无极值点
当1-a^2<0时，|a|＞1，令f'（x）=0，易得f（x）有两个极值点
x1=a-根号(a^2-1),x2=a+根号(a^2-1)
因f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点
2＜a-根号(a^2-1)＜3或2＜a+根号(a^2-1)＜3
不等式 2＜a-根号(a^2-1)＜3，无解，
不等式 2＜a+根号(a^2-1)＜3
5/4＜a＜ 5/3
所以，a的取值范围是(5/4,5/3)

Answer 3

先求导，借助图像在区间(2,3)中至少有一个极值点、
则f'(2)*f'(3)＜0、、、、△>=0→解得a>1或a<-1
即{3*2^2-6a*2+3}*{3*3^2-6a*3+3}＜0
(15-12a)(30-18a)＜0
3*6*(5-4a)*(5-3a)＜0
3*6*4*3(a-5/4)*(a-5/3)＜0
5/4 ＜ a ＜ 5/3
把上面的△解的合并在一起的答案就是5/4 ＜ a ＜ 5/3

Answer 4

导数为3x^2-6ax+3。为二次函数。令g（x）=3x^2-6ax+3=3（x^2-2ax+1）
对称轴为x=a。当a<2或a>3时，g（2）g（3）<0。
即(5-4a)(10-6a)<0，5/4<a<5/3。
当2<a<3时，Δ≥0且g（2）>0，g(3)>0。
4a^2-4>0，a<-1或a>1。a<5/4，a>5/3
再与2<a<3取交集，得空集。
综上所述，a在（5/4，5/3）区间上。

Answer 5

f（x）’=3x2-6ax+3
f（2）*f（3）〈0
求值
还有一部分答案，是{f（2）>0
f（3）>0
Δ〉=0
2〈a〈3
求值
再并起来。

应该是这样的，，

Answer 6

(5/4,5/3) 很久没做了不保证正确率。大概的思路是先求导，f'(x)=3x^2-6ax+3=0,再分离参数a=(x^2+1)/2x,根据x的范围求出a的范围。加油啊，呵呵 江苏的孩子！