设函数f(x)在[0,a]上有二阶导数且f(0)=0及f"(x)<0.证明F(x)=f(x)/x在(0,a)内单调减少。的思路及解题步骤。
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F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2
设g(x)=xf'(x)-f(x) (0<=x<=a)
则g(0)=0
g‘(x)=xf''(x)+f'(x)-f'(x)=xf''(x)<0
所以0<x<a时g(x)<g(0)=0
所以F’(x)<0
所以f(x)/x在(0,a)内单调减少
设g(x)=xf'(x)-f(x) (0<=x<=a)
则g(0)=0
g‘(x)=xf''(x)+f'(x)-f'(x)=xf''(x)<0
所以0<x<a时g(x)<g(0)=0
所以F’(x)<0
所以f(x)/x在(0,a)内单调减少
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