Question

已知,在三角形ABC中,以AC边为直径的圆O交BC于点D,在劣弧AD上取一点E是∠EBC=∠DEC

（1）求证：AC⊥BH（2）若∠ABC=45°，圆O的直径为10，BD=8，求CG的长

Answer 1

（1）证明：连接AD，

∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，

∴∠DAC=∠EBC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠DCA+∠DAC=90°，

∴∠EBC+∠DCA=90°，

∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，

∴AC⊥BH；

（2）解：∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°，

∴BD=AD，

∵BD=8，∴AD=8，

在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，

根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，

∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，

∴△BCE∽△ECD，

Answer 2

不知G点在什么位置?
证明:
<ACD=1/2弧AD,<DEC=1/2弧DC
因 弧AD+弧DC=弧AEC=180度
<ACD+<DEC=1/2(弧AD+弧DC)=1/2弧AEC=1/2*180=90度
又∠EBC=∠DEC
<ACD+∠EBC=90度
<BGC=180-(<ACD+∠EBC)=180-90=90度
AC⊥BH
（2）连接AB,可知<ADB=90度,∠ABC=45°,三角形ABD是等腰直角三角形
AD=DB=8 因<ADC=90度
DC^2=AC^2-AD^2=10^2-8^2=36
DC=6,三角形EDC相似于三角形
EC^2=DC*BC=6(6+8)=84
由射影定理得,EC^2=CG*AC,10CG=84
CG=42/5(如果G点在圆内)
CG=42/5
如果G点在圆上, ACT和BG交于H点,则HC=42/5
1/2BG*AC=1/2BC*AD,10BG=14*8,BG=56/5
AB=8根号2
由RT三角形ABG相似于RT三角形GHG
CG/AB=HC/BG,CG/8根号2=42/5/56/5
CG=6根号2