Question

二重积分的对称性和被积函数的奇偶性，概念看不懂啊

其中有一条说的是：D1和D2（就是积分区域）关于y轴对称，被积函数关于X为奇函数时，D1+D2（二重符号打不出）为0。我就是想象不出什么叫做被积函数关于X为奇函数，都关于Y轴对称了还怎么跟X扯上关系的啊？
对数学极为迟钝，大家莫见笑。

Answer 1

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。如果积分区域关于y轴对称考察被积分函数x的奇偶.三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面。

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

Answer 2

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

奇偶性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否具有奇偶性，积分区间是否对称，如果奇函数则积分为0为偶函数则用对称性。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

以上内容参考：百度百科-二重积分

Answer 3

一个是积分区域，另一个是被积函数，
这两个不是一回事，
比如说f(x,y)= xy，
显然f(-x,y)= -xy
那么f(x,y)+f(-x,y)=0
这时候f(x,y)关于x就是奇函数，
因为只对x进行讨论的时候，就把y看作是常数，

而对于f(x,y)=x²y，
f(x,y)=f(-x,y)，
这时候f(x,y)关于x就是偶函数

在对奇函数积分过后就得到了偶函数，
那么显然代入互为相反数的上下限相减就是0

所以在积分区域D1和D2关于y轴对称，被积函数关于X为奇函数时，
∫∫ (D1+D2) f(x,y)=0

追问

那么这个二重积分求出来的0是D1和D2面积的和？你所举的被积函数我是看懂了，但面积之和不该是两倍吗，面积不是不管正负的吗？

追答

D1+D2的意思是积分区域由D1和D2组成，

不是表示面积

Answer 4

解答：

1、既然是二重积分，就是“二重”，就是“二次”，对x积分，或对y积分，
总有一个先后次序问题。即使改成极坐标，也是有极径与角度的先后次序。
2、一般的积分都有很大的积分技巧，二重积分就更讲究技巧了，有时次序
不当，自找苦吃；有时坐标系统选得得当，事半功倍。
3、在直角坐标系中，先对x积分，也就是先沿x轴方向积分，这是就得看函数
是奇函数还是偶函数，判断得好，势如破竹。而所谓的奇函数、偶函数，
就是看函数是对y轴对称，还是跟原点对称。无论先后，只要沿着y轴对称，
就自然而然地要看函数对x轴的对称性了。这样，你的问题就不足为怪了。

明白了吗？欢迎追问。

Answer 5

引用franciscococo的回答：
一个是积分区域，另一个是被积函数，
这两个不是一回事，
比如说f(x,y)= xy，
显然f(-x,y)= -xy
那么f(x,y)+f(-x,y)=0
这时候f(x,y)关于x就是奇函数，
因为只对x进行讨论的时候，就把y看作是常数，

而对于f(x,y)=x²y，
f(x,y)=f(-x,y)，
这时候f(x,y)关于x就是偶函数

在对奇函数积分过后就得到了偶函数，
那么显然代入互为相反数的上下限相减就是0

所以在积分区域D1和D2关于y轴对称，被积函数关于X为奇函数时，
∫∫ (D1+D2) f(x,y)=0

一重积分，奇函数变成偶函数，偶函数变成奇函数。
为什么二重积分，也会这样，二重积分不是二次积分吗？为什么还是一样的啊？